Tutto ha inizio con mia madre che quando fa il presepe per casa nostra dispone casette e personaggi in modo da ricreare alcuni luoghi caratteristici del paese di cui è originaria, come ad esempio la fontana di san Giovanni dove andava a lavare i panni da piccola, la piazza del mercato, oppure le osterie dove si ritrovavano gli uomini del paese per giocare a carte e ovviamente bere (dando vita a quella che anche oggi chiamano ‘a m’nàta). E ha inizio anche con mio zio che, venutoci a trovare ieri sera con il resto della famiglia, ci fa notare che tra i personaggi mancano proprio i due più importanti: il falegname e il fabbro. Perché proprio loro? Semplice! Perché mentre mio nonno era falegname, suo padre era uno dei fabbri più conosciuti del paese. 

Detto questo, la discussione si sposta sul fatto che seppure nonno fosse un bravissimo falegname, capace di costruire un sacco di cose diverse, anche molto belle, alla fine dei conti quello che gli capitava di realizzare più frequentemente erano botti e tini, e sul fatto che aveva delle formule tutte sue per calcolare aree e volumi dei suddetti oggetti. In particolare mio padre a un certo punto fa: “nonno calcolava il volume di un tino (praticamente un tronco di cono) in questo modo: diametro della base per diametro del coperchio per altezza per otto, e i conti, considerando le ovvie approssimazioni, tornavano.. quello che non mi sono mai spiegato era il senso di quell’otto.. certo che sarebbe stato interessante chiederlo a un professore di matematica..” e lo dice con una tale rassegnazione, come se ormai fosse impossibile ottenere una spiegazione a questa domanda.. beh, inutile dire che mi sono sentita decisamente chiamata in causa e tanto ho fatto che sono riuscita a risolvere il problema!

Ora, premesso che nonno utilizzava questa formula con una speciale accortezza per le unità di misura, ovvero utilizzava le misure di lunghezza sempre in metri e sapeva che così avrebbe ottenuto un numero che diceva quanti quintali di vino sarebbero entrati nel tino, vediamo come fa a saltare fuori quel famoso otto:

Iniziamo con un esempio, diciamo che vogliamo costruire un tino con le seguenti misure:

R = 40 cm = 0.4 m

r = 30 cm = 0.3 m

h = 50 cm = 0.5 m

utilizzando la formula matematica del volume del tronco di cono, si ha:

V = ⅓ πh (R² + r² + Rr) = ⅓ * π * 0.5 * (0.16 + 0.09 + 0.12) = 0.194 m³

da cui si ha (nel caso di un liquido equiparabile all’acqua):

0.194 m³ = 194 dm³ = 194 litri = 194 kg = 1.94 quintali

Riscrivendo i dati mettendo i diametri al posto dei raggi,

D = 80 cm = 0.8 m

d = 60 cm = 0.6 m

h = 50 cm = 0.5 m

secondo la formula di mio nonno, si ha: D * d * h * 8 = 0.8 * 0.6 * 0.5 * 8 = 1.92 quintali

che offre una buona approssimazione del risultato ottenuto con la formula precedente.. ma perché??

Raffrontando questa formula anche con quella che nonno usava per calcolare l’area del cerchio, si capisce che l’8 deriva semplicemente dall’approssimare il π con 3.2 anziché con il classico 3.14. Infatti nonno calcolava l’area di un cerchio facendo diametro per diametro per otto, da cui, considerando che il diametro è il doppio del raggio, si ha: d * d * 8 = 2r * 2r * 8 = r * r * 2 * 2 * 8 = r * r * 32.

Ovviamente il tutto andava poi diviso per 10, ma come dicevo prima queste formule servivano solo per avere un numero orientativo mentre l’ordine di grandezza veniva determinato a posteriori con il buon senso.

Arrivata a questo punto (ormai i miei zii se ne erano andati a casa), non ho potuto fare a meno di continuare i miei calcoli e di cercare di ottenere una dimostrazione il più formale possibile del risultato ottenuto, ed ecco quello che sono riuscita a capire..

Partendo dalla formula del volume del tronco di cono, ho che se voglio inserire i dati in metri e ottenere direttamente un risultato in quintali devo moltiplicare il risultato per dieci; inoltre, anche in questo caso, e questo è il punto sostanziale, bisogna approssimare il valore di π con 3.2!!!

Otteniamo quindi:

10 * ⅓ * 3.2 * h * (R² + r² + Rr) = D * d * h * 8

32 * ⅓ * h * (R² + r² + Rr) = 2R * 2r * h * 8

32 * ⅓ * h * (R² + r² + Rr) = R * r * h * 32

e, dividendo entrambi i membri per 32 * h, otteniamo:

⅓ (R² + r² + Rr) = Rr

Ora vediamo quando queste due quantità sono effettivamente uguali o se una delle due è sempre maggiore dell’altra.

Moltiplicando entrambi i membri per 3 si ha: R² + r² + Rr = 3Rr da cui: R² + r² - 2Rr = 0 e, ricordando la formula del quadrato del binomio, (R-r)² = 0.

Da quest’ultimo risultato si ottiene che le due formule sono uguali solo nel caso in cui la differenza R-r è uguale a zero, ovvero quando le basi sono uguali e invece di un tronco di cono si ha un cilindro; si ottiene anche che, sempre solo se si utilizza 3.2 al posto di π, il risultato ottenuto con la formula matematica è sempre maggiore di quello ottenuto con la formula empirica e l’errore è tanto maggiore quanto più sono diverse le due basi.

..e questo tanto per dire come si passsano le "serate in famiglia" a casa mia.. ;o)